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Mit dem Fußballspielen begann Rasmus Carstensen bei seinem Heimatverein Virklund BK. Professionell ausgebildet wurde der Rechtsverteidiger seit 2012 beim dänischen Erstligisten Silkeborg IF. Dort gab der dänische U21-Nationalspieler im Alter von 18 Jahren sein Profi-Debüt in der zweiten dänischen Liga und stieg mit seinem Team am Ende der Saison in die Superligaen auf.
In der Spielzeit 2021/22 lief er 22-mal für Silkeborg auf und qualifizierte sich für die Meisterrunde. Im Anschluss an die Saison wechselte er zum KRC Genk. Der FC hat den Dänen vom KRC Genk für die Spielzeit 2023/24 ausgeliehen. Zusammen mit Rasmus, der von seinen Teamkollegen „Ralle“ gerufen wird, wechselte seine Partnerin Sofie Vendelbo aus Genk zu den FC-Frauen.
Trikots 2023/24
